Sáng nay mình có thấy tụi học sinh bên trường làm đề, cũng tò mò làm thử coi sao. Mình thích mấy câu số học sơ cấp nên có thử câu sau đây
Bài 4.
a) Cho $p$ là số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với $p$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $a^n+n \equiv 0 \pmod p$.
b) Tồn tại hay không hai số tự nhiên phân biệt $a,b$ sao cho $a^n+n$ chia hết $b^n+n$ với mọi số tự nhiên $n$.
Mình không mang sách về nhà, nên không nhớ chính xác lời giải đề mà ghi ra ở đây. Tuy nhiên cả 2 câu nhỏ đều giải theo kiểu "chọn" một số $n$ nào đó rồi chứng minh. Lời giải này, theo mình là dở về mặt sư phạm. Nếu như mình không giải ra thì đọc lời giải cũng không học được gì thêm. Ở đây mình đề xuất một cách tiếp cận khác mà theo mình là sáng sủa và tự nhiên hơn.
Định hướng giải
a) Ở câu này, để ý rằng, với số tự nhiên $n$ nào đi nữa, cái ta quan tâm chỉ là số dư của $n$ và $a^n$ khi chia cho $p$ chứ không phải giá trị số của $n$. Suy nghĩ thêm một chút, thì thấy ngay nếu $ n \equiv r \pmod{p-1}$, ta có ngay $n$ phải là nghiệm của một hệ phương trình đồng dư:
\begin{align*} \begin{cases} x \equiv r \pmod{p-1} \\ x \equiv -a^r \pmod p \end{cases} \end{align*}
Rõ ràng theo định lý thặng dư Trung Hoa, hệ trên luôn luôn có nghiệm modulo $p(p-1)$, kéo theo luôn tồn tại $n$ là số tự nhiên thỏa mãn đề bài. Lời giải này thực ra còn chứng minh một kết quả mạnh hơn, tồn tại vô hạn số tự nhiên thỏa mãn đề bài.$\blacksquare$
b) Với câu này, bằng biến đổi đơn giản, ta suy ra $a^n -b^n $ chia hết cho $a^n+n$ với mọi số tự nhiên $n$. Ta dự đoán rằng không tồn tại 2 số tự nhiên phân biệt $a$ và $b$ thỏa mãn, nên ý tưởng là phản chứng sao cho suy ra được $a=b$.
Câu a) gợi ý rằng với một số nguyên tố $p$, ta luôn tìm được $n$ sao cho $a^n+n$ chia hết cho $p$, và điều này kéo theo $a^n-b^n$ chia hết cho $p$. Suy luận này gợi cho ta bổ đề sau
Bổ đề. Cho các số tư nhiên $a,b,n$ và số nguyên tố $p$ sao cho $a^n-b^n$ chia hết cho $p$ và $\left(n, p-1\right) =1$. Khi đó ta có $a - b$ chia hết cho $p$.
Như vậy nếu ta chọn một số nguyên tố $p>b > a$, đồng thời chọn được số tự nhiên $n$ thỏa
\begin{align*} \begin{cases} a^n+n \equiv 0 \pmod p \\ (n, p-1) =1 \end{cases} \end{align*}
thì sẽ suy ra ngay được $a = b$, và điều này dẫn tới mâu thuẫn.
Nhưng làm thế nào để chọn được $n$ sao cho với số nguyên tố $p$ được chọn trước, $(n,p-1)=1$? Ta để ý rằng, với mọi số tự nhiên $n$, ta luôn có $(n, n-1)=1$. Do đó nếu ta chọn $n$ sao cho $n \equiv 1 \pmod{ p -1}$ thì sẽ suy ra $(n,p-1)=1$. Tổng kết lại, ta cần chỉ ra sự tồn tại của nghiệm hệ đồng dư sau
\begin{align*} \begin{cases} x \equiv 1 \pmod{p-1} \\ x \equiv -a \pmod p \end{cases} \end{align*}
và tới đây, lại theo định lý thặng dư Trung Hoa, ta biết rằng luôn tồn tại số tự nhiên $n$ thỏa mãn đề bài. Do đó không tồn tại 2 số tự nhiên phân biệt $a$ và $b$ thỏa mãn đề bài. $\blacksquare$
Comments
Post a Comment