Skip to main content

Featured

AN INTERESTING RELATION

  I just copy here an answer of mine of this post, just in case OP decided to delete it.  Link: https://math.stackexchange.com/q/5005043/1231540 First we state two results:  - **Proposition 1:** Let $n \ge 3$. The minimal polynomial of $\cos(2\pi/n)$ - denoted by $\psi_n$ - has degree $\phi(n)/2.$ Here $\phi$ is Euler totient function.  - **Proposition 2:** The roots of $\psi_n$ are $\cos(2k\pi/n)$ where $\gcd(k,n)=1$ and $0 \le k \le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$. The proofs of the above two propositions can be found in this paper: https://www.jstor.org/stable/2324301 ***Proof of the first identity:*** It can be observed that $4\sin^2(\pi/n) = 2-4\cos(2\pi/n)$, so the polynomial $\Phi_n$ and $\psi_n$ have the same degree, which is $\phi(n)/2$. In particular, $\Phi_{2m}$ has degree $\phi(2m)/2$.  If $m$ is odd, we clearly have $\phi(2m) = \phi(m)$, which means $\Phi_{2m}$ and $\Phi_m$ have the same degrees. By definition, $\Phi_{2m}(x)$ is irreducible and has...
Post a Comment
Read more
Labels

MỘT VÍ DỤ VỀ NHÓM CÓ NHÓM THƯƠNG LÀ NHÓM ABEL NHƯNG NON - ABEL

Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, bậc của một nhóm có thể cho ta nhiều thông tin liên quan đến cấu trúc của nhóm đó. Chẳng hạn như định lý Sylow cho ta thông tin về các $p-$ nhóm con của một nhóm không tầm thường, hay thậm chí là suy ra được các tính chất như tính cyclic, tính giao hoán (Abelian),... Trong bài viết này, ta sẽ quan tâm đến bài toán kinh điển dưới đây: 

"Cho $G$ là nhóm có bậc $p^2$ thì $G$ là nhóm giao hoán, hay còn gọi là nhóm Abel."

Chứng minh định lý này có thể xem trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [1], bài viết sẽ không nhắc lại ở đây. Ta sẽ chú ý đến kết quả sau trong chứng minh:

"Nếu $G/Z(G)$ là nhóm cyclic thì ta suy ra $G$ là nhóm Abel."
Câu hỏi đặt ra là: nếu ta thay điều kiện $G/Z(G)$ là nhóm cyclic bởi điều kiện yếu hơn - $G/Z(G)$ là nhóm abel, thì mệnh đề trên có luôn đúng hay không?

Dưới đây ta đưa ra một phản ví dụ cho mệnh đề trên, tức là nhóm thương của một nhóm là abel thì không luôn suy ra được nhóm là nhóm Abel. Ta xem xét nhóm $G = D_n$.

Định nghĩa: Nhóm nhị diện $D_n$ , với $n \geq 3$, là nhóm các đối xứng của một đa giác đều $n-$ cạnh.

Định lý 1: Nhóm nhị diện $D_n$ là nhóm con của nhóm đối xứng $S_n$ và có bậc bằng $2n$.

Định lý 2: Nhóm nhị diện $D_n, n \geq 3$, chứa tất cả các tích của 2 phần tử $r$ và $s$, trong đó 2 phần tử thỏa mãn quan hệ sau đây

\begin{align*}&r^n=1,\\ &s^2 =1\\ &srs = r^{-1}. \end{align*}.

Từ định lý 2, ta suy ra ngay được rằng $D_n$ với $n \geq 3$ không phải là nhóm abel. 

Đến đây, ta đã sẵn sàng xây dựng phản ví dụ cho mệnh đề nêu trên. Xét nhóm đối xứng của hình vuông là $D_4$. Định lý 1 cho ta biết rằng $\left|D_4\right|=8=2^3$.

Khi đó, theo định lý Lagrange, $\left|D_4/Z\left(D_4\right)\right| \mid 2^3$. Do đó nhóm thương $D_4/Z\left(D_4\right)$ là nhóm có bậc $2$ hoặc $2^2$ (ta loại trường hợp 1 vì nếu như thế, $D_4$ sẽ là một nhóm abel). Trong cả hai trường hợp, ta đều chứng minh được $D_4/Z\left(D_4\right)$ là nhóm abel nhưng $D_4$ không là nhóm abel. $\blacksquare$

[1] Judson, Thomas W Abstract algebra: Theory and Applications, 2020.
[2] Conrad, K Dihedral Group I. 
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/dihedral.pdf

Labels:

Comments

Post a Comment

Popular Posts