Skip to main content

Featured

AN INTERESTING RELATION

  I just copy here an answer of mine of this post, just in case OP decided to delete it.  Link: https://math.stackexchange.com/q/5005043/1231540 First we state two results:  - **Proposition 1:** Let $n \ge 3$. The minimal polynomial of $\cos(2\pi/n)$ - denoted by $\psi_n$ - has degree $\phi(n)/2.$ Here $\phi$ is Euler totient function.  - **Proposition 2:** The roots of $\psi_n$ are $\cos(2k\pi/n)$ where $\gcd(k,n)=1$ and $0 \le k \le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$. The proofs of the above two propositions can be found in this paper: https://www.jstor.org/stable/2324301 ***Proof of the first identity:*** It can be observed that $4\sin^2(\pi/n) = 2-4\cos(2\pi/n)$, so the polynomial $\Phi_n$ and $\psi_n$ have the same degree, which is $\phi(n)/2$. In particular, $\Phi_{2m}$ has degree $\phi(2m)/2$.  If $m$ is odd, we clearly have $\phi(2m) = \phi(m)$, which means $\Phi_{2m}$ and $\Phi_m$ have the same degrees. By definition, $\Phi_{2m}(x)$ is irreducible and has...
Post a Comment
Read more

MỘT SỐ BÀI TOÁN MÌNH ĐANG QUAN TÂM

 Trong post này, mình sẽ cập nhật một số bài toán mà mình đang quan tâm gần đây. Hai bài đầu tiên thuộc về lý thuyết số cộng tính (Additive number theory ) và lý thuyết số tổ hợp. 

  1. Bài toán về tập Sidon tuyến tính do Nathanson đề xuất Bài toán này được đề cập đến trong link sau: Sidon sets for linear forms - ScienceDirect. Trong bài báo, Nathanson thay tập Sidon cổ điển bằng một loại tập khác có tính tổng quát hơn. Cụ thể, đối với tập Sidon cổ điện, người ta sẽ xét hàm $\Phi(x,y) = x+y$ trên tập con $A \subset [\mathbb{N}]$. Nathanson thay tập các số nguyên dương $\mathbb{N}$ bởi một không gian vecto tùy ý, và ông liên kết nó với một hàm tuyến tính, tức là, hàm $\Phi(x_1,\ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n c_i\cdot x_i$. Một kết quả chính trong bài báo là, khi hàm $\Phi$ sở hữu một tính chất được gọi là tính chất N, thì sẽ luôn tồn tại một tập con $A$ của không gian vecto $X$, là tập Sidon. Ta gọi tập $A$ là một tập $\Phi$-Sidon. Trong bài báo, Nathanson đưa ra một số câu hỏi mở liên quan đến tính chất của tâp $\Phi$-Sidon. Một trong số chúng đã được giải quyết một phần, tuy nhiên hiện tại mới được công bố dưới dạng tiền ấn phầm. Cá nhân mình nghĩ rằng chứng minh là hoàn toàn chính xác, trong trường hợp polynomial pertubation - được nhắc đến ở link sau: [2111.15485] Note on a problem of Nathanson related to the $φ$-Sidon set (arxiv.org).Hai định lý 2 và 3 thì mình chưa kiểm tra, nhưng nó cũng chỉ giải quyết một phần của ý bounded    pertubation, và mình nghĩ đây là một câu hỏi tương đối thú vị để tìm hiểu sâu hơn.

  2.  Bài toán thứ hai mà mình muốn đề cập đến là về tính chất của một hệ động lực tô-pô, được sử dụng để giải quyết bài toán trong post sau của Terry: Infinite partial sumsets in the primes | What's new (wordpress.com) và bài sau của Quanta: Infinite Patterns Appear In Numbers Described as Moving Systems | Quanta Magazine. Dường như ý tưởng sử dụng hệ động lực cho các bài toán lý thuyết số khá thịnh hành gần đây. nên post này nhằm ghi chú lại cho sau này khỏi quên thôi =)). 

Comments

Post a Comment

Popular Posts