Gần đây mình có tự học lý thuyết số giải tích, phần là vì muốn chuẩn bị để làm lý thuyết số tổ hợp - chuẩn bị đọc cuốn Circle method của Murty cơ mà ông ấy cho bài tập lắm quá, làm thì khó mà mình thì nhanh nản - phần thì muốn đổi gió chút. Nhân có một phần khá thú vị mình chép lại ra đây
Chứng minh chi tiết của các định lý có thể xem thêm trong sách, ở đây mình chỉ nhắc lại các định lý mà không chứng minh tất cả. Cụ thể, ta chú ý đến định lý sau về công thức tiệm cận (asymtoptic formulae) của phi hàm Euler.
Định lý 1. Với mọi $x>1$, ta có
\[\sum_{n \le x}\varphi(n)=\dfrac{3}{\pi^2} \cdot x^2+O(x\log x)\]
Định lý, nói một cách thô sơ, cho thấy rằng ta có thể ước lượng tổng ở vế trái bởi công thức $\dfrac{3}{\pi^2} \cdot x^2$, với nhiễu cho bởi hàm $x\log x$. Công thức này có một ứng dụng thú vị về sự phân bố của các điểm trên lưới nguyên của một mặt phẳng (tức là các điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên - ta gọi tắt là điểm nguyên) thỏa mãn tính chất sau đây
Định nghĩa 2. Hai điểm nguyên $P$ và $Q$ được gọi là hữu hình cùng nhau nếu đoạn thẳng nối $PQ$ không chứa điểm nguyên nào khác ngoài hai điểm đầu mút.
Khi đó ta có thể tiêu chuẩn sau để kiểm tra xem hai điểm nguyên có hữu hình cùng nhau hay không như sau
Định lý 3. Hai điểm $(a,b)$ và $(c,d)$ là hữu hình đồng thời nếu và chỉ nếu $a-m$ và $b-n$ nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh: Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử $c=d=0$, vì ta luôn có thể tịnh tiến đoạn nối hai điểm $(a,b)$ và $(c,d)$ về gốc tọa độ và phép biến hình này giữ nguyên số lượng điểm nguyên trên đoạn. Vậy ta cần chứng minh mệnh đề sau
$(a,b)$ là hữu hình đồng thời với gốc tọa độ $\Leftrightarrow$ $\gcd(a,b)=1$.
Thật vậy, mọi điểm nằm giữa gốc tọa độ và điểm $(a,b)$ đều có dạng $(1-t)\cdot (0,0)+t \cdot (a,b)=t\cdot (a,b)$ với $t \in [0,1]$. Giả sử $ta, tb$ là các số nguyên, ta suy ra $t=c/d$ với $d,c$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau và $|d| >|c| \ge 1$. Hơn nữa $ta, tb$ là các số nguyên khi và chỉ khi $d \mid a$ và $d \mid b$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $d \mid \gcd(a,b)$. Đây chính là điều phải chứng minh. $\square$
Một quan sát dễ thấy từ định lý trên là có vô số các điểm hữu hình so với gốc tọa độ, do đó sẽ tự nhiên khi đặt ra câu hỏi rằng các điểm này phân bố như thế nào trong mặt phẳng
Ta sẽ xét hình vuông trong mặt phẳng $xy$ cho bởi phương trình sau:
\[ |x| \le r, \quad |y| \le r\]
Ta kí hiệu $N(r)$ bởi số điểm nguyên trong hình vuông nói trên, và kí hiệu $N'(r)$ là số điểm hữu hình so với gốc tọa độ. Một cách để lượng hóa số điểm hữu hình so với tổng số điểm là xét tỷ số $N'(r)/N(r)$. Định lý sau chỉ rằng rằng tỷ số này tiến tới một giới hạn khi $r \to \infty$. Ta gọi giới hạn này là mật độ của các điểm hữu hình so với gốc tọa độ.
Định lý 4. Tập các điểm nguyên hữu hình so với gốc tọa độ có mật độ là $\dfrac{6}{\pi^2}$.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng
\[ \lim_{r \to \infty} \dfrac{N'(r)}{N(r)} =\dfrac{6}{\pi^2} \]
Thật vậy, ta có thể dễ dàng kiểm tra được 8 điểm nguyên gần gốc tọa độ nhất đều hữu hình so với gốc tọa độ. Lấy đối xứng, ta suy ra $N'(r)$ bằng 8 + 8$ \times$ số điểm hữu hình với gốc tọa độ chứa trong miền:
\[ \left\lbrace (x,y)\colon 2 \le x \le r, \quad 1 \le y \le x \right\rbrace ,\]
(miền này cho bởi hình sau)
Ta viết lại giá trị của $N'(r)$ bằng công thức cụ thể như sau
\[N'(r) = 8 + 8 \sum_{2 \le n \le r} \sum_{1 \le m \le n \\ (m,n) = 1} 1=8 \sum_{1 \le n \le r} \varphi(n)\]
Áp dụng định lý 1, ta suy ra
\[N'(r) = \dfrac{24}{\pi^2}r^2 +O(r\log r)\]
Mặt khác, số điểm nguyên trong hình vuông đang xét cho bởi
\[N(r) = \left(2[r]+1\right)^2 = \left(2r +O(1)\right)^2=4r^2+O(r),\]
nên ta có
\[\dfrac{N'(r)}{N(r)} = \dfrac{\dfrac{24}{\pi^2}r^2+O(r\log r)}{4r^2+O(r)}=\dfrac{\dfrac{6}{\pi^2}+O\left(\dfrac{\log r}{r}\right)}{1+O\left(\dfrac{1}{r}\right)}\]
Dễ thấy khi $r \to \infty$ thì ta tìm được $N'(r)/N(r) \to 6/\pi^2. \square$
Kết quả trong định lý 4 đôi khi còn được diễn giải là xác suất chọn một điểm nguyên bất kì hữu hình so với gốc tọa độ là khoảng $6/\pi^2$. Hoặc, chọn ngẫu nhiên hai số nguyên $a$ và $b$ bất kì, xác suất chúng nguyên tố cùng nhau là $6/\pi^2$.
Comments
Post a Comment