MỘT BÀI TẬP TRONG SÁCH LÝ THUYẾT SỐ GIẢI TÍCH CỦA APOSTOL

 Bài này làm mình rối mấy hôm nay, cứ có cảm giác khá là kì vì cảm giác nó dễ nhưng cứ đi vòng vòng, nên mình chép lại nó ở đây để tiện xem lại sau này.

Bài tập 6.13 - Apostol. Cho một nhóm $G$ có $m$ phần tử và $f_1, f_2,\ldots, f_m$ là các hàm đặc trưng của nhóm $G$. Giả sử gọi $a$ là một phần tử cấp $n>1$ trong $G$. Ta biết rằng $f_r(a)$ là một căn bậc $n$ của đơn vị. Chứng mình rằng mỗi căn bậc $n$ của đơn vị xuất hiện đúng $m/n$ lần trong dãy số $f_1(a), f_2(a),\ldots,f_r(a)$.

Gợi ý: Tính tổng sau

\[ \sum_{r=1}^m\sum_{k=1}^n f_r(a^k)e^{\frac{-2\pi ik}{n}} \]

theo 2 cách và đếm xem phần tử $e^{\frac{2\pi i}{n}}$ xuất hiện bao nhiêu lần

Lời giải.

Đầu tiên ta viết lại tổng trên dưới dạng

\[\sum_{k=1}^n e^{-2\pi ik/n} \sum_{r=1}^m f_r(a^k)\]

Ta nhắc lại  quan hệ trực giao giữa các phần tử trong nhóm và các hàm trực giao trên nhóm hữu hạn $G$ như sau

\begin{align} \sum_{r=1}^m f_r(a) =  \begin{cases} m, \text{ if } a=1 \\ 0, \text{ otherwise } \end{cases} \end{align}

Do đó tổng bên trong triệt tiêu khi và chỉ khi $k \ne n$, do đó ta đưa về tính 

\[ \sum_{k=1}^n e^{-2\pi ik/n} \sum_{r=1}^m f_r(a^k) = e^{-2\pi i} \cdot m  = m\]

Mặt khác, do $f_r \colon G \to \mathbb{C}$ nên tổng trên còn thế viết lại thành dạng 

\[ \sum_{r=1}^m S_r \]

trong đó 

\[S_r = \sum_{k=1}^n \left[ f_r(a) e^{-2\pi i/n}\right]^k = \begin{cases} n, f_r(a)= e^{2\pi i/n} \\ 0, f_r(a)\ne e^{-2\pi i/n} \end{cases}\]

Từ đây ta suy ra ngay tồn tại $m/n$ tổng $S_r$ sao cho $S_r=n$. Điều này chứng tỏ tồn tại $m/n$ chỉ số $r \in [1,m] \cap \mathbb{N}$ thỏa mãn $f_r(a)=e^{2\pi i/n}$. Nói cách khác $e^{-2\pi i/n}$ xuất hiện $m/n$ lần trong dãy $f_1(a), f_2(a),\ldots,f_r(a)$. Thay $e^{-2\pi i/n}$ bởi $e^{-2t\pi i/n}$ và cho $t$ chạy qua tập $\left\lbrace 1,2,\ldots, n\right\rbrace$, với lập luận hoàn toàn tương tự như trên, ta dễ dàng suy ra mỗi căn bậc $n$ của đơn vị xuất hiện đúng $n/m$ lần. $\blacksquare$

Nguồn: Introduction to analytic number theory (icdst.org)