MỘT VÍ DỤ XOÀNG

Hôm nay mình được học về định lý Picard lớn cho hàm phân hình. Định lý được phát biểu như sau:

Định lý Picard lớn: Nếu $f$ là một hàm phân hình (meromophic) trên $\mathbb{C}$ và tồn tại ba điểm phân biệt $a,b,c$ không chứa trong $f(\mathbb{C})$. Khi đó $f$ là một hàm hằng. 

Định lý này là một mở rộng cho định lý Picard lớn cho hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị thủng. Nôm na, nếu thay đổi $f$ thành hàm chỉnh hình, thì tập giá trị của $f$ sẽ "né" tối đa một điểm trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$. Nếu thay bằng hàm phân hình, tức là ta chấp nhận tập giá trị có thể nhận giá trị $\infty$, thì $f$ né được tối đa 2 điểm.

Với định lý Picard lớn cho hàm chỉnh hình, chặn 1 điểm là chặn tốt, vì hàm $e^{1/z} \ne 0$ với mọi $z \in \Delta^*$. Một câu hỏi rất tự nhiên là: Liệu chặn 2 điểm cho định lý Picard lớn cho hàm phân hình có phải là chặn tốt nhất hay không?

Tại sao mình lại quan tâm đến ví dụ này: Một lý do là vì, khi ta định nghĩa hàm phân hình trên mặt phẳng phức mở rộng $\mathbb{C}_\infty = \mathbb{C} \cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$, thì mặt phẳng mở rộng này trở thành một diện Riemann compact. Khi đó hàm phân hình trên $\mathbb{C}_\infty$ là hàm toàn ánh, do đó không né được bất cứ một điểm nào khác chứ đừng nói là né được tận hai điểm. 

Thế nhưng có tồn tại một ví dụ cho hàm chỉnh hình $f$ như thế thật! Xét hàm sau:

\[f(z) = \dfrac{e^z}{e^z-e^{z^2}}\]

Dễ thấy hàm này là một hàm phân hình vì nhận $z=1$ làm một cực của $f$. Ngoài ra  có thể dễ dàng kiểm tra được $f \ne 0, 1$. Vậy nên đây là hàm không nhận hai giá trị tại $0,1$. Vậy lý luận dùng diện Riemann sai ở đâu?

Vấn đề nằm ở chỗ, mình đồng nhất hàm phân hình trên $\mathbb{C}$ với hàm phân hình trên $\mathbb{C}_\infty$, mà quên mất rằng, $f$ phân hình trên $\mathbb{C}$, thì ta không biết dị về tính xác định của $f$ tại vô cực cả. Đơn giản nhất là xét tính kì dị của $\infty$ của hàm $e^z$. Điều này tương đương với việc phân loại tính kì dị của $z=0$ của hàm $e^{1/z}$, và đây là một điểm bất thường cốt yếu, nên ta không thể thác triển chỉnh hình được tại vô cực hàm này.  Đối với lý luận dùng diện Riemann compact, mình đã ngầm hiểu là hàm $f$ xác định tốt và chỉnh hình tại vô cực.